Trigonometrie - vzorce
Pythagorova věta
V každém pravoúhlém trojúhelníku platí
,
kde
je délka přepony,
,
jsou délky jeho odvěsen.
Sinus úhlu je poměr délky
protilehlé odvěsny k úhlu a délky přepony.
Kosinus úhlu je poměr délky
přilehlé odvěsny k úhlu a délky přepony.
Tangens úhlu je poměr délky
protilehlé odvěsny k úhlu a délky přilehlé odvěsny.
Kotangens úhlu je poměr délky
přilehlé odvěsny k úhlu a délky protilehlé odvěsny.
Sinová věta Pro každý trojúhelník
, jehož vnitřní úhly mají velikosti
a strany délky
,
platí
.
Sinová věta
Poznámka. Další vzorce vyplývají z principu cyklické záměny. Jsou
to tyto:
Sinovou větu můžeme také vyjádřit ve tvaru
,
tj. poměr délek dvou stran v trojúhelníku se rovná poměru velikostí sinů protilehlých úhlů
k těmto stranám.
Kosinova věta
Pro každý trojúhelník
, jehož strany mají délky
a jehož vnitřní úhel proti straně
má velikost
,
platí
.
Poznámka. Jestliže ve vzorci pro kosinou větu přepíšeme
symboly stran a úhlů dle cyklické záměny, dostaneme vyjádření pro ostatní strany
, kde úhel
je úhel proti straně
,
, kde úhel
je úhel proti straně
.
Poznámka. Pythagorova věta je vlastně speciálním případem
kosinové věty, jestliže je jeden úhel pravý, tzn.
.
Tangentova věta
V každém trojúhelníku
, jehož vnitřní úhly mají velikosti
a strany délky
,
platí
.
Poznámka. Další vyjádření tangentové věty dostaneme cyklickou záměnou.
Jsou to vzorce:
Vztah pro poloměr kružnice opsané trojúhelníku
Pro poloměr
kružnice opsané trojúhelníku
platí
.
Obsah trojúhelníku pomocí dvou stran a úhlu jimi sevřenémPro obsah
každého trojúhelníku
,
jehož vnitřní úhly mají velikosti
a strany mají délky
platí
.
Heronův vzorec
Pro obsah
každého trojúhelníku
,
jehož strany mají délky
, platí
,
kde
.
Poloměr kružnice opsané pomocí obsahu trojúhelníku a jeho stran
Nechť
je obsah trojúhelníku
,
jehož strany mají délky
. Potom pro poloměr
kružnice opsané tomuto trojúhelníku platí
.
Poloměr kružnice vepsané pomocí obsahu trojúhelníku a jeho stran
Nechť
je obsah trojúhelníku
,
jehož strany mají délky
.
Potom pro poloměr
kružnice vepsané trojúhelníku
platí
,
kde
.