Trigonometrie - vzorce

Pythagorova věta

V každém pravoúhlém trojúhelníku platí , kde je délka přepony, , jsou délky jeho odvěsen. je poměr délky protilehlé odvěsny k úhlu a délky přepony.
je poměr délky přilehlé odvěsny k úhlu a délky přepony.
je poměr délky protilehlé odvěsny k úhlu a délky přilehlé odvěsny.
je poměr délky přilehlé odvěsny k úhlu a délky protilehlé odvěsny.

Sinová věta
Pro každý trojúhelník , jehož vnitřní úhly mají velikosti a strany délky , platí .

Sinová věta Poznámka. Další vzorce vyplývají z principu cyklické záměny. Jsou to tyto:

Sinovou větu můžeme také vyjádřit ve tvaru ,

tj. poměr délek dvou stran v trojúhelníku se rovná poměru velikostí sinů protilehlých úhlů k těmto stranám.

Kosinova věta

Pro každý trojúhelník , jehož strany mají délky a jehož vnitřní úhel proti straně má velikost , platí . Poznámka. Jestliže ve vzorci pro kosinou větu přepíšeme symboly stran a úhlů dle cyklické záměny, dostaneme vyjádření pro ostatní strany
, kde úhel je úhel proti straně ,
, kde úhel je úhel proti straně . Poznámka. Pythagorova věta je vlastně speciálním případem kosinové věty, jestliže je jeden úhel pravý, tzn. .

Tangentova věta

V každém trojúhelníku , jehož vnitřní úhly mají velikosti a strany délky , platí .
Poznámka. Další vyjádření tangentové věty dostaneme cyklickou záměnou. Jsou to vzorce:

Vztah pro poloměr kružnice opsané trojúhelníku

Pro poloměr kružnice opsané trojúhelníku platí .

Obsah trojúhelníku pomocí dvou stran a úhlu jimi sevřeném

Pro obsah každého trojúhelníku , jehož vnitřní úhly mají velikosti a strany mají délky platí .

Heronův vzorec

Pro obsah každého trojúhelníku , jehož strany mají délky , platí , kde .

Poloměr kružnice opsané pomocí obsahu trojúhelníku a jeho stran

Nechť je obsah trojúhelníku , jehož strany mají délky . Potom pro poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku platí .

Poloměr kružnice vepsané pomocí obsahu trojúhelníku a jeho stran

Nechť je obsah trojúhelníku , jehož strany mají délky . Potom pro poloměr kružnice vepsané trojúhelníku platí , kde .