Exponenciální a logaritmické funkce

Exponenciální funkce

Symbolický zápis by tedy vypadal takto: f:y = a^x, kde a > 0 a zároveň a≠1 (pokud by se a mohlo rovnat jedné, vznikla by z toho konstatní funkce, protože i kdybychom umocňovali jedničku půl dne, pořád by nám vznikala pouze jednička). Mimoto známe dva speciální druhy exponenciálních funkcí a sice Dekadickou - f:y = 10^x a Přirozenou exponencionální funkci - f:y = e^x (základ je Eulerovo číslo). Grafem exponenciální funkce je Exponenciální křivka. V zásadě známe dva druhy této křivky:

 f:y = 2^x. Tento typ grafu platí pro všechny a>1, pro a>0  a<1 existuje jiný graf, který bude uveden za chvíli. Z tohoto grafu ale můžeme vyčíst jisté zákonitosti. Tak především exponenciální graf vždy prochází bodem o souřadnicích [0,1], neboť cokoliv na nultou je jedna (samozřejmě platí pro jednoduché funkce, kde za výraz nepřičítáme nějaké další proměnné či výrazy). Dále je jasně vidět, že funkce je rostoucí, není ani sudá ani lichá, nemá minimum ani maximum a je omezená zdola.

f:y = ½^x a tento typ grafu obecně platí pro a>0   a<1. I tento graf prochází bodem [0,1], neboť opět cokoliv na nultou je prostě jedna. Funkce je to klesající, není ani sudá ani lichá, nemá minimum ani maximum a je omezená zdola. Rozdíl mezi prvním grafem a tímto druhým a je poměrně jasný - pokud trojku umocníne na druhou, vyjde vám číslo větší, konkrétně devítka. Čím větší číslo budete umocňovat, tím větší výsledek získáte (neplatí pro záporný exponent). Naopak pokud umocníte na druhou jednu polovinu, je jasné, že vám vznikne číslo menší. Proto je první graf rostoucí a tento druhý klesající.

Logaritmické funkce

Objasnit pojem exponenciální funkce bylo nezbytně nutné hlavně proto, že logaritmická funkce je inverzní funkce právě k funkci exponenciální. Logaritmická funkce má o fous složitější předpis než předchozí exponenciální funkce: f:y = log_a x, kde a je základ logaritmu a x je argument. Tento zápis čteme: „logaritmus čísla x o základu a“.

Logaritmus je exponent, kterým když umocníme základ, získáme argument x.

Z předchozí definice vyplývá, že zápis logaritmu můžeme také přepsat takto: a^y = x. Opět známe dva speciální druhy logaritmu. První je takzvaný dekadický logaritmus, je to takový logaritmus, který má za základ číslo deset. Místo běžného zápisu log₁₀ x se poté používá prosté log x. Kdykoliv tedy uvidíte takovýto logaritmus bez základu, vězte, že se jedná o dekadický logaritmus se zkákladem deset. Druhý případ je přirozený logaritmus, který se namísto log značí ln. Tento logaritmus má zase za základ Eulerovo číslo, což je jedna ze základních metmatických konstant jejíž přibližná hodnota je 2,71828. Více informací třebas na wiki.

Grafy logaritmických funkcí

Jelikož je logaritmus inverzí k exponenciále, musí být jejich grafy taktéž inverzní, což se projevuje tím, že jsou osově souměrné podle osy první a třetího kvadrantu. Opět rozlišujeme, zda je základ a větší než jedna anebo je v intervalu nula až jedna, jako u exponenciální funkce.

Věty o logaritmech

Stejně jako známe mnoho různých vzorců pro počítání s mocninami jako takovými, existuje i několik obecných vzorců pro počítání s logaritmy, které nám ulehčí život, pokud už někdy někde na nějaký ten logaritmus narazíme.

• log_x (a × b) = log_x a + log_x b (česky ta věta zní „Logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů“)
• log_x (a / b) = log_x a − log_x b („Logaritmus podílu se rovná rozdílu logaritmů“)
• log_x a^b = b × log_xa