Lineární funkce
Grafem lineární funkce je přímka. Předpis linární funkce je . Pomocí koeficientů a můžeme ovlivnit vzhled grafu lineární funkce, jestli bude funkce rostoucí, nebo klesající a kde graf protne osu .
Definice: Lineární funkce je každá funkce na množině (), která je dána předpisem
,
kde a jsou reálná čísla.
Prvním speciálním případem lineární funkce je funkce s koeficientem , tj. funkce
,
kterou nazýváme konstantní funkce.
Druhým speciálním případem lineární funkce je funkce s koeficientem , tj. funkce
,
kterou nazýváme přímá úměrnost.
Vlastnosti lineární funkce
Vlastnosti zde uvedené jsou platné pro lineární funkci v obecném tvaru, kdy hodnoty koeficientů
,
jsou
různé od nuly.
Rovnice |
|
|
|
|
|
Rostoucí, klesající |
Lineární funkce je rostoucí pro a klesající pro . |
Sudá, lichá |
Lineární funkce není ani sudá, ani lichá. |
Prostá |
Lineární funkce je prostá. |
Periodická |
Lineární funkce není periodická. |
Omezenost |
Lineární funkce není omezená ani shora, ani zdola. |
Graf |
Grafem lineární funkce je přímka.
Speciální případy lineární funkce
Konstantní funkce. Lineární funkce se nazývá konstatní, když . |
Rovnice |
|
|
|
|
|
Rostoucí, klesající |
Konstantní funkce není ani rostoucí, ani klesající. Zároveň je neklesající i nerostoucí. |
Sudá, lichá |
Konstantní funkce je sudá. |
Prostá |
Konstantní funkce není prostá. |
Periodická |
Konstantní funkce je periodická, ale nelze určit základní periodu. |
Omezenost |
Konstantní funkce je omezená shora i zdola. |
Graf |
Grafem konstantní funkce je přímka rovnběžná s osou . |
Přímá úměrnost. Lineární funkce se nazývá přímá úměrnost, když . |
Rovnice |
|
|
|
|
|
Rostoucí, klesající |
Přímá úměrnost je rostoucí pro a klesající pro . |
Sudá, lichá |
Přímá úměrnost je lichá funkce. |
Prostá |
Přímá úměrnost je prostá. |
Periodická |
Přímá úměrnost není periodická. |
Omezenost |
Přímá úměrnost není omezena shora, ani zdola. |
Graf |
Grafem přímé úměrnosti je přímka procházející počátkem. |
Zadání lineární funkce
Lineární funkce může být zadána
Předpisem
Dvěma různými bodyJsou dány body , . Na souřadnice těchto bodů můžeme nahlížet jako na dvě uspořádané dvojice a .
Souřadnice , každého z bodů musí vyhovovat rovnici . Napíšeme si tedy dvě rovnice, kde za a dosadíme souřadnice bodů a , čímž dostaneme soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé , .
Po vyřešení získáme pro , tyto hodnoty
a předpis lineární funkce má tvar
.
Grafem
Jak víme z předchozího textu, koeficient zjistíme tak, že určíme jeho -ovou souřadnici průsečíku grafu lineární funkce s osou .
Koeficient můžeme snadno určit tak, že určíme průsečíky grafu lineární funkce s osou a s osou . Pak -ovou souřadnici průsečíku grafu funkce s osou označíme a -ovou souřadnici průsečiku s osou označime .