Komlexní čísla

Komplexní čísla C – množina komplexních čísel
i – imaginární jednotka
i² = -1
Algebraický tvar komplexního čísla a + bi (reálná a imaginární část)
Jestliže a = 0, tak z = bi (ryze imaginární)
Operace, kdy z₁ = a + bi, z₂ = c + di
Sčítání – (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Násobení – (a + bi) * (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Podíl – (a + bi)/(c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + <(bc – ad)/(c² + d²)>i
Rovnost – dvě komplexní čísla se rovnají, právě když se rovnají reálné i imaginární části
Neutrálním prvkem pro sčítání je 0 a pro násobení 1
Opačné komplexní číslo – z' = – a – bi
Převrácené komplexní číslo – z' = a/(a² + b²) – 2 + b²)>i
Číslo komplexně sdružené = a – bi
Mocniny – i^4k = 1, i^{4k + 1} = i, i^{4k + 2} = -1, i^{4k + 3} = -i
Absolutní hodnota – |z| = √(a² + b²)
Komplexní jednotka – každé komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je rovna 1
Komplexní čísla nelze uspořádat podle velikosti
Součet čtverců (x² + y²) lze rozložit na součin (x + yi) * (x – yi)
a² ≠ |a|²

Geometrické znázornění

Obrazem bod roviny (Gaussova rovina komplexních čísel)
Komplexní číslo a číslo komplexně sdružené jsou souměrné podle reálné osy
Komplexní číslo a opačné komplexní číslo jsou souměrné podle počátku
Absolutní hodnota komplexního čísla – vzdálenost od počátku
Pokud je absolutní hodnota rovna r – kružnice se středem v počátku a poloměrem r
Goniometrický tvar komplexního čísla – z = |z| * (cosφ + i * sinφ), cosφ = a/|z|, sinφ = b/|z|
Součin z₁ * z₂ = |z₁| * |z₂| * (cos(φ₁ + φ₂) + i * sin(φ₁ + φ₂))
Podíl z₁/z₂ = |z₁|/|z₂| * (cos(φ₁ – φ₂) + i * sin(φ₁ – φ₂))
Moivreova věta – zⁿ = |z|ⁿ * (cos(n * φ) + i * sin(n * φ))
Binomická věta (cosx + i * sinx)² = cos²x + 2i * cosx * sinx + i² * sin²x – sin²x

Rovnice v oboru komplexních čísel

Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty – ax² + bx + c = 0
Když je diskriminant větší než 0 – K = {(-b+√D)/2a, (-b-√D)/2a}
Když je diskriminant rovný 0 – K = {-b/2a}
Když je diskriminant menší než 0 – K = {(-b+i√-D)/2a, (-b-i√-D)/2a}
Binomická rovnice x² – a = 0
|x| = ⁿ√|a|, φ = (α + 2kπ)/n, různá řešení k = 0, 1, …, n – 1
Kořeny binomické rovnice leží v Gaussově rovině na kružnici o poloměru ⁿ√|a| a tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku x_k = ⁿ√|a| * (cos((α + 2kπ)/n) + i * sin((α + 2kπ)/n))